Miniatury matematyczne 87

Co to jest matematyka? To niełatwe pytanie doczekało się wielu prób odpowiedzi, w tym znakomitej książki Richarda Couranta i Herberta Robbinsa pod takim właśnie tytułem. Większość dziedzin wiedzy ma obszar własnych zainteresowań zapisany w swojej nazwie, choć zwykle ukrywa się on pod słowem greckim lub łacińskim. Mamy więc na przykład biologię od greckiego bios czyli życie, geografię, w której pobrzmiewają greckie ge lub gai a — ziemia i grapheo — zarówno piszę jak i rysuję, czy historię oznaczającą po prostu opowiadanie o przeszłych zdarzeniach. Nazwa matematyka też ma swoje greckie źródło w słowie mathema oznaczającym dość ogólnie wiedzę czyli to, czego się uczymy. Trudno jednak stąd wywnioskować, czym zajmuje się matematyka. I nie jest to przypadek.

Matematyka w postaci, w jakiej znamy ją dzisiaj, powstała w starożytnej Grecji i od początku opierała się na dwóch nogach. Jedną z nich jest arytmetyka, czyli nauka o liczeniu i liczbach, drugą geometria, która sama nie jest jednorodna, bo traktuje z jednej strony o relacjach czysto jakościowych (punkt leży na prostej lub okręgu, dwie proste są równoległe itp.), a z drugiej usiłuje mierzyć pewne zależności, czyli wyrażać je w liczbach.

Od początku też matematycy zdawali sobie sprawę, że obiekty, którymi się zajmują, są abstrakcyjne, to znaczy z jednej strony nie są czymś, czego możemy doświadczyć zmysłami w naszym otoczeniu, ale z drugiej strony oddają w pewien sposób cechy rzeczy, z którymi stykamy się w rzeczywistości.

Z czasem obszar zainteresowań matematyki rozmywał się coraz bardziej. Powstawały i to na wiele różnych sposobów całe nowe dziedziny. Źródłem algebry była podwójna abstrakcja, czyli pomysł, by „konkretne” liczby w rachunku zastąpić nowym obiektem i manipulować nim tak, jakby to była liczba. Inne, jak na przykład geometria analityczna, powstawały, gdy metody jednej dziedziny stosowano do badania obiektów innej, często z pozoru bardzo od niej odległej. Jeszcze inne — jak rachunek prawdopodobieństwa — powstawały, gdy z otaczających nas rzeczy lub zjawisk udawało się wyabstrahować nową cechę, w tym wypadku prawdopodobieństwo.

Matematyka przypomina wielki wzorzysty patchwork: z bliska widać różne dziedziny z ich odmienną tematyką i metodami, a jednak stanowi jedną całość. Co ją spaja? Wydaje się, że jest to specyficzna metoda dedukcyjna dochodzenia do prawdy czyli dowód matematyczny.

Pierwszy z zamieszczonych tu artykułów dotyczy właśnie rozumowania matematycznego. Autor pokazuje kilkanaście pozornie poprawnych rozumowań matematycznych prowadzących do jawnie nieprawdziwych wniosków i zaprasza Czytelnika do znalezienia błędu lub luki w takim „dowodzie” . Tego typu zadania rzadko pojawiają się w matematyce szkolnej, ale staje przed nimi każdy, kto próbuje samodzielnie rozwiązywać problemy matematyczne. Porzekadło mówi, że nie myli się jedynie ten, co nic nie robi. Błędy przydarzały się nawet największym matematykom. Dlatego tak ważne jest, by badać konsekwencje swoich wniosków i umieć wychwycić błąd.

Druga miniatura to historia pewnego problemu geometrycznego postawionego i rzekomo rozwiązanego już w czasach starożytnych przez Apolloniusza z Pergi. Z jednej strony mimo wielowiekowych usiłowań matematycy do dziś nie są usatysfakcjonowani istniejącymi rozwiązaniami. Z drugiej strony praca nad problemem dała zupełnie nowe rezultaty o charakterze nie tylko geometrycznym. Nie ma tu zbyt wielu dowodów, bo autorowi zależało bardziej na przedstawieniu dynamiki wydarzeń niźli systematyczności wykładu.

Bohaterami ostatniego, obszernego artykułu są paradoksalne czyli niezgodne z intuicją wyniki rachunku prawdopodobieństwa, w szczególności szeroko znany ze względu na telewizyjną proweniencję paradoks Monty’ego Halla. Kluczem w radzeniu sobie z nimi (i nie tylko z nimi) jest zastąpienie intuicji rzetelnym modelem matematycznym. Autor na licznych przykładach pokazuje, jak takie modele budować i wykorzystywać w praktyce.